ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ z x. ΠΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΡ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ :
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ $x$ ΠΈ $y$ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΠΌΠΈ, Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π²Π΅ΡΡΠΈ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:
Π§Π°ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ $f$ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ $M=\left({{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ $x$ β ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»
\[{{{f}"}_{x}}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left({{x}_{0}}+\Delta x;{{y}_{0}} \right)}{\Delta x}\]
ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ $y$ :
\[{{{f}"}_{y}}=\underset{\Delta y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left({{x}_{0}};{{y}_{0}}+\Delta y \right)}{\Delta y}\]
ΠΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ , Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Π²ΡΠ΅ ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠ΅, ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠΎΠΉ, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΠΎ ΡΡΠΎΠΉ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.
ΠΡΡΡΠ΄Π° Π²ΡΡΠ΅ΠΊΠ°Π΅Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΈΡΠΌ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ : ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΡΡΠΈΡΠ°ΠΉΡΠ΅, ΡΡΠΎ Π²ΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠ΅, ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ, ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠΎΠΉ, ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠ΅Π³ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠΉΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ°ΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ Π±Ρ Β«ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΡΡΒ» β Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
$\begin{align}& {{\left({{x}^{2}}+10xy \right)}_{x}}^{\prime }={{\left({{x}^{2}} \right)}^{\prime }}_{x}+10y\cdot {{\left(x \right)}^{\prime }}_{x}=2x+10y, \\& {{\left({{x}^{2}}+10xy \right)}_{y}}^{\prime }={{\left({{x}^{2}} \right)}^{\prime }}_{y}+10x\cdot {{\left(y \right)}^{\prime }}_{y}=0+10x=10x. \\\end{align}$
ΠΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΠΎ ΡΠ°Π·Π½ΡΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌ Π΄Π°ΡΡ ΡΠ°Π·Π½ΡΠ΅ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡ β ΡΡΠΎ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ. ΠΡΠ΄Π° Π²Π°ΠΆΠ½Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ, ΠΏΠΎΡΠ΅ΠΌΡ, ΡΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΌΡ ΡΠΏΠΎΠΊΠΎΠΉΠ½ΠΎ Π²ΡΠ½Π΅ΡΠ»ΠΈ $10y$ ΠΈΠ·-ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Π° Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΌ β Π²ΠΎΠ²ΡΠ΅ ΠΎΠ±Π½ΡΠ»ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅. ΠΡΡ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΈΠ·-Π·Π° ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ Π²ΡΠ΅ Π±ΡΠΊΠ²Ρ, ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΈΠ΄ΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ: ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΡ, Β«ΡΠΆΠΈΠ³Π°ΡΡΒ» ΠΈ Ρ.Π΄.
Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Β«ΡΠ°ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°ΡΒ»?
Π‘Π΅Π³ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΠΌ ΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΈ ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΡ Π½ΠΈΡ . ΠΠΎ-ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ , ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ? ΠΠΎ ΡΠΈΡ ΠΏΠΎΡ ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΠ²ΡΠΊΠ»ΠΈ ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ $y\left(x \right)$ ΠΈΠ»ΠΈ $t\left(x \right)$, ΠΈΠ»ΠΈ Π»ΡΠ±ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΈ ΠΎΠ΄Π½Ρ-Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΡ Π½Π΅Π΅. Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΆΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Ρ Π½Π°Ρ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΎΠ΄Π½Π°, Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ. ΠΡΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ $y$ ΠΈ $x$ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ $x$ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΡΡΡ Π² Π΄Π²Π° ΡΠ°Π·Π°, Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ, ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π΅ΡΠ»ΠΈ $x$ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ, Π° $y$ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡΡ, Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡΡ.
Π Π°Π·ΡΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ , ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΎΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ, ΡΠΎ ΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎ ΡΠ°Π·Π½ΡΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌ. ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡΡ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π½Π΅ Π±ΡΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.
ΠΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΡ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, ΡΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Π½Ρ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ, ΠΏΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΡ ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ β ΡΡΠΎ ΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Ρ Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΡ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ , ΠΈ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅Π΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎ $x$, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΠΎ $y$ β Π΄Π²Π΅ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ .
ΠΠΎ-Π²ΡΠΎΡΡΡ , ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΌΡ Π·Π°ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΈ Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°Π΅ΠΌ ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΠΎ Π½Π΅ΠΉ, ΡΠΎ Π²ΡΠ΅ ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅, Π²Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠ΅ Π² ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π² $z\left(xy \right)$, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΠΎ $x$, ΡΠΎ Π²Π΅Π·Π΄Π΅, Π³Π΄Π΅ ΠΌΡ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°Π΅ΠΌ $y$, ΠΌΡ ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ Π΅Π΅ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠΎΠΉ ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΠΌΡΡ Ρ Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠΎΠΉ. Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΡ $y$ Π·Π° ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΡ (Ρ Π½Π°Ρ ΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠ°), Π° ΠΏΡΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠΌΠΌΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Ρ Π½Π°Ρ Π³Π΄Π΅-ΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎ $y$ ΠΈ Π½Π΅ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎ $x$, ΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° Β«Π½ΡΠ»ΡΒ» ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΡ.
ΠΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π²Π·Π³Π»ΡΠ΄ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡΡΡ, ΡΡΠΎ Ρ ΡΠ°ΡΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Ρ ΠΎ ΡΠ΅ΠΌ-ΡΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΌ, ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»Ρ ΠΏΡΡΠ°ΡΡΡΡ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π½ΠΈΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ²Π΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π½Π΅Ρ, ΠΈ ΡΠ΅ΠΉΡΠ°Ρ ΠΌΡ ΡΠ±Π΅Π΄ΠΈΠΌΡΡ Π² ΡΡΠΎΠΌ Π½Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ.
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠΈ Ρ ΡΠ°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π°ΠΌΠΈ
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° β 1
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π΅ ΡΠ΅ΡΡΡΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ Π·ΡΡ, Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° Π½Π°ΡΠ½Π΅ΠΌ Ρ ΡΠ΅ΡΡΠ΅Π·Π½ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ².
ΠΠ»Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½Ρ ΡΠ°ΠΊΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ:
ΠΡΠΎ ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΈΠ· ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡΡΡΠ°.
Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ $z$ ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
\[{{{z}"}_{x}}={{\left(\sqrt{\frac{y}{x}} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}}{{\left(\frac{y}{x} \right)}^{\prime }}_{x}\]
ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ Π΅ΡΠ΅ ΡΠ°Π·, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΌ ΡΡΠΎΠΈΡ Π½Π΅ $x$, Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΠ΅ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ $\frac{y}{x}$, ΡΠΎ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΌΡ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ½ΡΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΌ ΡΡΠΎΠΈΡ Π½Π΅ $x$, Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π°ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π΄ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π½Π°ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π½Π° Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΈΠ· ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ Π΄Π»Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅:
\[{{\left(\frac{y}{x} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{{{{{y}"}}_{x}}\cdot x-y\cdot {{{{x}"}}_{x}}}{{{x}^{2}}}=\frac{0\cdot x-y\cdot 1}{{{x}^{2}}}=-\frac{y}{{{x}^{2}}}\]
ΠΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΠΌΡΡ ΠΊ Π½Π°ΡΠ΅ΠΌΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΠΌ:
\[{{{z}"}_{x}}={{\left(\sqrt{\frac{y}{x}} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}}{{\left(\frac{y}{x} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}}\cdot \left(-\frac{y}{{{x}^{2}}} \right)\]
Π ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΠ΅, ΡΡΠΎ Π²ΡΠ΅. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ Π΅Π΅ Π² ΡΠ°ΠΊΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π½Π΅ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ: ΡΠ°ΠΊΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡΡΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π΄Π»Ρ Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠΈΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ Π΅Π΅ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΠΌ:
\[\frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}}\cdot \left(-\frac{y}{{{x}^{2}}} \right)=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{x}{y}}\cdot \frac{y}{{{x}^{2}}}=\]
\[=-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{x}{y}}\cdot \sqrt{\frac{{{y}^{2}}}{{{x}^{4}}}}=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x\cdot {{y}^{2}}}{y\cdot {{x}^{4}}}}=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{{{x}^{3}}}}\]
ΠΡΠ²Π΅Ρ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½. Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π·Π°ΠΉΠΌΠ΅ΠΌΡΡ $y$:
\[{{{z}"}_{y}}={{\left(\sqrt{\frac{y}{x}} \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}}\cdot {{\left(\frac{y}{x} \right)}^{\prime }}_{y}\]
ΠΡΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΎΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ:
\[{{\left(\frac{y}{x} \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{{{{{y}"}}_{y}}\cdot x-y\cdot {{{{x}"}}_{y}}}{{{x}^{2}}}=\frac{1\cdot x-y\cdot 0}{{{x}^{2}}}=\frac{1}{x}\]
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΠΌ:
\[{{{z}"}_{y}}={{\left(\sqrt{\frac{y}{x}} \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}}\cdot {{\left(\frac{y}{x} \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}}\cdot \frac{1}{x}=\]
\[=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{x}{y}}\cdot \sqrt{\frac{1}{{{x}^{2}}}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x}{y\cdot {{x}^{2}}}}=\frac{1}{2\sqrt{xy}}\]
ΠΡΠ΅ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Π½ΠΎ.
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° β 2
ΠΡΠΎΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠ΅, ΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π΅ΠΉ, ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠΈΠΉ. Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½Π΅Π΅, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ Π·Π΄Π΅ΡΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠΉ, Π° ΠΏΡΠΎΡΠ΅, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ Π·Π΄Π΅ΡΡ Π½Π΅Ρ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ ΠΈ, ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ $x$ ΠΈ $y$, Ρ.Π΅. Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ $x$ ΠΈ $y$ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°ΠΌΠΈ, ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΎΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡΡ. ΠΡΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π² Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠ΅ΠΌ ΡΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡ Π½Π°ΠΌ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Ρ.Π΅. Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ , Π° Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°ΠΌΠΈ $x$ ΠΈ $y$.
ΠΡΠΈΡΡΡΠΏΠ°Π΅ΠΌ ΠΊ Π΄Π΅Π»Ρ:
\[{{{z}"}_{x}}={{\left(\frac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{{{\left(xy \right)}^{\prime }}_{x}\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)-xy{{\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{\prime }}_{x}}{{{\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\]
ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ:
\[{{\left(xy \right)}^{\prime }}_{x}=y\cdot {{\left(x \right)}^{\prime }}=y\cdot 1=y\]
ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠΌ ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΌ ΡΠ°ΠΊΠ°Ρ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠ½Π°, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ Π²ΠΎΡ ΡΠ°ΠΊ:
\[{{\left(xy \right)}^{\prime }}_{x}={{\left(x \right)}^{\prime }}_{x}\cdot y+x\cdot {{\left(y \right)}^{\prime }}_{x}=1\cdot y+x\cdot 0=y\]
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ Π΅ΡΠ΅ ΡΠ°Π· ΡΠ±Π΅ΠΆΠ΄Π°Π΅ΠΌΡΡ Π² ΡΠ½ΠΈΠ²Π΅ΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ : ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ Π±Ρ ΠΌΡ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ ΠΈΡ Π½Π΅ ΡΡΠΈΡΠ°Π»ΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡ Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ, ΠΎΡΠ²Π΅Ρ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ ΡΠΎΡ ΠΆΠ΅.
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΡΠ°Π·Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌΡΡ Π΅ΡΠ΅ Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π½Π°ΡΠ΅ΠΉ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ:
\[{{\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{\prime }}_{x}={{\left({{x}^{2}} \right)}^{\prime }}_{x}+{{\left({{y}^{2}} \right)}^{\prime }}_{x}+{{{1}"}_{x}}=2x+0+0\]
ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π² Π½Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
\[\frac{{{\left(xy \right)}^{\prime }}_{x}\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)-xy{{\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{\prime }}_{x}}{{{\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\]
\[=\frac{y\cdot \left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)-xy\cdot 2x}{{{\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\]
\[=\frac{y\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1-2{{x}^{2}} \right)}{{{\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\frac{y\left({{y}^{2}}-{{x}^{2}}+1 \right)}{{{\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\]
ΠΠΎ $x$ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΎ. Π ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ $y$ ΠΎΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ Π½Π΅ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡ Π²ΡΡ ΡΡ ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠΉ, Π° Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠ΅ΠΉ Π½Π°ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ β ΠΌΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Π² Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²ΡΠ΅ $y$ Π½Π° $x$ ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡΠΎΡ:
\[{{{z}"}_{y}}=\frac{x\left({{x}^{2}}-{{y}^{2}}+1 \right)}{{{\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\]
ΠΠ° ΡΡΠ΅Ρ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ ΠΌΡ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°Π»ΠΈ ΡΡΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΠΎΡΠ°Π·Π΄ΠΎ Π±ΡΡΡΡΠ΅Π΅.
ΠΡΠ°Π½ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ
ΠΠ»Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΡ Π²ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΡΡ , Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ. ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΈ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ: Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ $x$, ΡΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ Π΅Π΅ ΠΏΠΎ $x$, ΡΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ Π΅Π΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΡ, ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° Β«Π½ΡΠ»ΡΒ».
ΠΠ°ΠΊ ΠΈ Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Ρ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ, ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ (ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΈ ΡΡ ΠΆΠ΅) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΡ ΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡΡΠΊΡΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΌΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°Π»ΠΈ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
\[{{\left(\frac{y}{x} \right)}^{\prime }}_{x}=y\cdot {{\left(\frac{1}{x} \right)}^{\prime }}_{x}=-y\frac{1}{{{x}^{2}}}\]
\[{{\left(xy \right)}^{\prime }}_{x}=y\cdot {{{x}"}_{x}}=y\cdot 1=y\]
ΠΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ Ρ ΡΠ΅ΠΌ, Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΎΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠΌΠΌΡ. ΠΠ°ΠΊ ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΠΎΠ½Π° ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ . ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅:
\[{{\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{\prime }}_{x}=2x+0+0=2x\]
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ, Π·Π½Π°Ρ Π²ΡΠ΅ ΡΡΠΎ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΠΎΠΏΡΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΡ Ρ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ΅ΡΡΠ΅Π·Π½ΡΠΌΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π½Π°ΡΡΠΎΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π½Π΅ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌΠΈ Π»ΠΈΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π°ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΊΠΎΡΠ½ΡΠΌΠΈ: ΡΠ°ΠΌ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΈ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ, ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ, ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ. Π‘Π΅ΠΉΡΠ°Ρ ΡΡΠΈΠΌ ΠΈ Π·Π°ΠΉΠΌΠ΅ΠΌΡΡ.
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠΈ Ρ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌΠΈ
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° β 1
ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ:
\[{{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\]
\[{{\left(\cos x \right)}^{\prime }}_{x}=-\sin x\]
ΠΠΎΠΎΡΡΠΆΠΈΠ²ΡΠΈΡΡ ΡΡΠΈΠΌΠΈ Π·Π½Π°Π½ΠΈΡΠΌΠΈ, ΠΏΠΎΠΏΡΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ:
\[{{{z}"}_{x}}={{\left(\sqrt{x}\cdot \cos \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}={{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }}_{x}\cdot \cos \frac{x}{y}+\sqrt{x}\cdot {{\left(\cos \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}=\]
ΠΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π²ΡΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ:
\[{{\left(\cos \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}=-\sin \frac{x}{y}\cdot {{\left(\frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}=-\frac{1}{y}\cdot \sin \frac{x}{y}\]
ΠΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΠΌΡΡ ΠΊ Π½Π°ΡΠ΅ΠΉ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡΡΠΊΡΠΈΠΈ:
\[=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot \cos \frac{x}{y}+\sqrt{x}\cdot \left(-\frac{1}{y}\cdot \sin \frac{x}{y} \right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot \cos \frac{x}{y}-\frac{\sqrt{x}}{y}\cdot \sin \frac{x}{y}\]
ΠΡΠ΅, ΠΏΠΎ $x$ ΠΌΡ Π½Π°ΡΠ»ΠΈ, ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ Π·Π°ΠΉΠΌΠ΅ΠΌΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΏΠΎ $y$:
\[{{{z}"}_{y}}={{\left(\sqrt{x}\cdot \cos \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{y}={{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }}_{y}\cdot \cos \frac{x}{y}+\sqrt{x}\cdot {{\left(\cos \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{y}=\]
ΠΠΏΡΡΡ ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
\[{{\left(\cos \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{y}=-\sin \frac{x}{y}\cdot {{\left(\frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{y}=-\sin \frac{x}{y}\cdot x\cdot \left(-\frac{1}{{{y}^{2}}} \right)\]
ΠΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΠΌΡΡ ΠΊ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
\[=0\cdot \cos \frac{x}{y}+\sqrt{x}\cdot \frac{x}{{{y}^{2}}}\sin \frac{x}{y}=\frac{x\sqrt{x}}{{{y}^{2}}}\cdot \sin \frac{x}{y}\]
ΠΡΠ΅ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Π½ΠΎ.
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° β 2
ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡΡ Π½Π°ΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ:
\[{{\left(\ln x \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{x}\]
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎ $x$:
\[{{{z}"}_{x}}={{\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{x+\ln y}.{{\left(x+\ln y \right)}^{\prime }}_{x}=\]
\[=\frac{1}{x+\ln y}\cdot \left(1+0 \right)=\frac{1}{x+\ln y}\]
ΠΠΎ $x$ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½ΠΎ. Π‘ΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎ $y$:
\[{{{z}"}_{y}}={{\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{1}{x+\ln y}.{{\left(x+\ln y \right)}^{\prime }}_{y}=\]
\[=\frac{1}{x+\ln y}\left(0+\frac{1}{y} \right)=\frac{1}{y\left(x+\ln y \right)}\]
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° ΡΠ΅ΡΠ΅Π½Π°.
ΠΡΠ°Π½ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΎΡ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π±Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΌΡ Π½Π΅ Π±ΡΠ°Π»ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ, ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΎΡΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΈ ΡΠ΅ΠΌΠΈ ΠΆΠ΅, Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎ ΠΎΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π΅ΠΌ Π»ΠΈ ΠΌΡ Ρ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠ΅ΠΉ, Ρ ΠΊΠΎΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌΠΈ.
ΠΠ΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΎΡΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ ΡΠΎ ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ, ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΡΠ°ΡΠ΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΈ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ. ΠΡ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°Π΅ΠΌΡΡ Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π²Π΅Π·Π΄Π΅. ΠΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ Π΅ΡΠ΅ Π½Π΅ Π±ΡΠ»ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ°ΠΌ Π½Π°ΠΌ ΠΎΠ½Π° Π½Π΅ ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π»Π°ΡΡ. ΠΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π±Ρ ΠΌΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ Π½Π΅ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈΡΡ, Π½Π°ΠΌ Π²ΡΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ. ΠΠ°ΠΊ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΌΡ ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ, Π²ΡΠ΅ ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ. Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ $\cos \frac{x}{y}$ ΠΏΠΎ $y$, ΡΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ $y$ ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Π° $x$ Π²Π΅Π·Π΄Π΅ ΠΎΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠΎΠΉ. Π’ΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ΅ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π΅Ρ ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡΠΎΡ. ΠΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΡ Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ ΡΠ°ΠΌΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΡ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° Β«Π½ΡΠ»ΡΒ».
ΠΡΠ΅ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΊ ΡΠΎΠΌΡ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΎΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π½ΠΎ ΠΏΠΎ ΡΠ°Π·Π½ΡΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄Π΅ΡΡ ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΠΎ-ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠΌΡ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ:
\[{{\left(x+\ln y \right)}^{\prime }}_{x}=1+0=1\]
\[{{\left(x+\ln y \right)}^{\prime }}_{y}=0+\frac{1}{y}=\frac{1}{y}\]
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠΈ Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌΠΈ
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° β 1
ΠΠ»Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΠΊΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ:
\[{{\left({{e}^{x}} \right)}^{\prime }}_{x}={{e}^{x}}\]
ΠΠ½Π°Ρ ΡΡΠΎΡ ΡΠ°ΠΊΡ, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΠΎΠΏΡΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ. Π― ΡΠ΅ΠΉΡΠ°Ρ ΡΠ΅ΡΡ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ. ΠΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΠΈ ΡΠ°ΠΌΡΠΉ ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΡΠΉ β ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ:
\[{{{z}"}_{x}}={{\left({{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{x}={{\left({{e}^{x}} \right)}^{\prime }}_{x}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}\cdot {{\left({{e}^{\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{x}=\]
\[={{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}\cdot {{\left(\frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}=\]
ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠΈΠΌ ΠΎΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
\[{{\left(\frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{{{{{x}"}}_{x}}\cdot y-x.{{{{y}"}}_{x}}}{{{y}^{2}}}=\frac{1\cdot y-x\cdot 0}{{{y}^{2}}}=\frac{y}{{{y}^{2}}}=\frac{1}{y}\]
ΠΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΠΌΡΡ ΠΊ Π½Π°ΡΠ΅ΠΉ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡΡΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
\[={{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}\cdot \frac{1}{y}={{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}\left(1+\frac{1}{y} \right)\]
ΠΡΠ΅, ΠΏΠΎ $x$ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΎ.
ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ ΠΈ ΠΎΠ±Π΅ΡΠ°Π», ΡΠ΅ΠΉΡΠ°Ρ ΠΏΠΎΡΡΠ°ΡΠ°Π΅ΠΌΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΡΡ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅:
\[{{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}={{e}^{x+\frac{x}{y}}}\]
Π ΡΡΠΎΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΠΊ:
\[{{\left({{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{x}={{\left({{e}^{x+\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{x}={{e}^{x+\frac{x}{y}}}\cdot {{\left(x+\frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}={{e}^{x+\frac{x}{y}}}\cdot \left(1+\frac{1}{y} \right)\]
Π ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΡΡ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠΈΠΌ. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡ.
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎ $y$:
\[{{{z}"}_{y}}={{\left({{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{y}={{\left({{e}^{x}} \right)}^{\prime }}_{y}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}\cdot {{\left({{e}^{\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{y}=\]
\[=0\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}\cdot {{\left(\frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{y}=\]
ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠΈΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ:
\[{{\left(\frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{{{{{x}"}}_{y}}\cdot y-x\cdot {{{{y}"}}_{y}}}{{{y}^{2}}}=\frac{0-x\cdot 1}{{{y}^{2}}}=-\frac{1}{{{y}^{2}}}=-\frac{x}{{{y}^{2}}}\]
ΠΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΡΠ΅ΠΉ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡΡΠΊΡΠΈΠΈ:
\[={{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}\cdot \left(-\frac{x}{{{y}^{2}}} \right)=-\frac{x}{{{y}^{2}}}\cdot {{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}\]
Π Π°Π·ΡΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ, ΡΡΡ ΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ Π±Ρ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ Π²ΡΠΎΡΡΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ, ΠΎΡΠ²Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΡΡ Π±Ρ ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅.
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° β 2
ΠΠΎΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎ $x$:
\[{{{z}"}_{x}}={{\left(x \right)}_{x}}\cdot \ln \left({{x}^{2}}+y \right)+x\cdot {{\left(\ln \left({{x}^{2}}+y \right) \right)}^{\prime }}_{x}=\]
ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ:
\[{{\left(\ln \left({{x}^{2}}+y \right) \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{{{x}^{2}}+y}\cdot {{\left({{x}^{2}}+y \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{2x}{{{x}^{2}}+y}\]
ΠΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡΡΠΊΡΠΈΠΈ: $$
ΠΠΎΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ.
ΠΡΡΠ°Π»ΠΎΡΡ ΠΏΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΠΎ $y$:
\[{{{z}"}_{y}}={{\left(x \right)}^{\prime }}_{y}.\ln \left({{x}^{2}}+y \right)+x\cdot {{\left(\ln \left({{x}^{2}}+y \right) \right)}^{\prime }}_{y}=\]
ΠΠ΄Π½ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΠΎΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ:
\[{{\left({{x}^{2}}+y \right)}^{\prime }}_{y}={{\left({{x}^{2}} \right)}^{\prime }}_{y}+{{{y}"}_{y}}=0+1=1\]
ΠΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡΡΠΊΡΠΈΠΈ:
ΠΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΎ. ΠΠ°ΠΊ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡΠ΅, Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊΠ°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π±Π΅ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ°Π·Π½ΡΠ΅.
ΠΡΠ°Π½ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ
ΠΠΎΡ ΡΡΠΊΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΡΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ. ΠΠΎΡ ΡΠΌΠΎΡΡΠΈΡΠ΅:
\[{{{z}"}_{x}}=\left({{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}} \right)={{\left({{e}^{x}} \right)}^{\prime }}_{x}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}\cdot {{\left({{e}^{\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{x}=\]
\[={{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}\cdot \frac{1}{y}={{e}^{x}}\cdot {{e}^{^{\frac{x}{y}}}}\left(1+\frac{1}{y} \right)\]
\[{{{z}"}_{x}}={{\left({{e}^{x}}.{{e}^{\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{x}={{\left({{e}^{x+\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{x}={{e}^{x+\frac{x}{y}}}.{{\left(x+\frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}=\]
\[={{e}^{x}}\cdot {{e}^{^{\frac{x}{y}}}}\left(1+\frac{1}{y} \right)\]
ΠΡΠΈ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠ΅ ΡΠ°Π·Π½ΡΡ ΠΏΡΡΠ΅ΠΉ, ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠ°Π·Π½ΡΠΉ, Π½ΠΎ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²ΡΠ΅ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈ ΡΠ΅ΠΌ ΠΆΠ΅. ΠΡΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ , ΡΠ°ΠΊ ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ . ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π΅ΡΠ΅ ΡΠ°Π· Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Ρ: Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΏΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ΄Π΅Ρ Π²Π·ΡΡΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Ρ.Π΅. Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΡΠ²Π΅Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡ ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ°Π·Π½ΡΠΉ. ΠΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΡΠ΅:
\[{{\left(\ln \left({{x}^{2}}+y \right) \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{{{x}^{2}}+y}\cdot {{\left({{x}^{2}}+y \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{{{x}^{2}}+y}\cdot 2x\]
\[{{\left(\ln \left({{x}^{2}}+y \right) \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{1}{{{x}^{2}}+y}\cdot {{\left({{x}^{2}}+y \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{1}{{{x}^{2}}+y}\cdot 1\]
Π Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ Π·Π°ΠΊΡΠ΅ΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»Π° Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΠΎΠΏΡΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΠ΅ Π΄Π²Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°.
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠΈ Ρ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ Ρ ΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° β 1
ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ:
\[{{\left({{a}^{x}} \right)}^{\prime }}={{a}^{x}}\cdot \ln a\]
\[{{\left({{e}^{x}} \right)}^{\prime }}={{e}^{x}}\]
ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ Π½Π°ΡΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
\[{{{z}"}_{x}}={{\left({{3}^{x\sin y}} \right)}^{\prime }}_{x}={{3}^{x.\sin y}}\cdot \ln 3\cdot {{\left(x\cdot \sin y \right)}^{\prime }}_{x}=\]
ΠΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ°ΠΊΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡΡΠΊΡΠΈΡ:
\[{{\left(x\cdot \sin y \right)}^{\prime }}_{x}={{{x}"}_{x}}\cdot \sin y+x{{\left(\sin y \right)}^{\prime }}_{x}=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]
ΠΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
\[={{3}^{x\sin y}}\cdot \ln 3\cdot \sin y\]
ΠΡΠΎ ΠΎΠΊΠΎΠ½ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎ $x$. Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎ $y$:
\[{{{z}"}_{y}}={{\left({{3}^{x\sin y}} \right)}^{\prime }}_{y}={{3}^{x\sin y}}\cdot \ln 3\cdot {{\left(x\sin y \right)}^{\prime }}_{y}=\]
Π Π΅ΡΠΈΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ:
\[{{\left(x\cdot \sin y \right)}^{\prime }}_{y}={{{x}"}_{y}}\cdot \sin y+x{{\left(\sin y \right)}^{\prime }}_{y}=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]
Π Π΅ΡΠ°Π΅ΠΌ Π΄ΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ° Π½Π°ΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡΡΠΊΡΠΈΡ:
\[={{3}^{x\cdot \sin y}}\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° β 2
ΠΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π²Π·Π³Π»ΡΠ΄ ΡΡΠΎΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡΡΡ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΌ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ Π·Π΄Π΅ΡΡ ΡΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ . ΠΠ° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅, ΡΡΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· ΡΠ°ΠΌΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ Π² ΡΠ΅Π³ΠΎΠ΄Π½ΡΡΠ½Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎΡΡΠΎΠΊΠ΅.
ΠΠ°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΠΎ $x$:
\[{{{t}"}_{x}}={{\left(x{{e}^{y}}+y{{e}^{z}} \right)}^{\prime }}_{x}={{\left(x\cdot {{e}^{y}} \right)}^{\prime }}_{x}+{{\left(y\cdot {{e}^{z}} \right)}^{\prime }}_{x}=\]
\[={{\left(x \right)}^{\prime }}_{x}\cdot {{e}^{y}}+x\cdot {{\left({{e}^{y}} \right)}^{\prime }}_{x}=1\cdot {{e}^{y}}+x\cdot o={{e}^{y}}\]
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΠ°Π·Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌΡΡ Ρ $y$:
\[{{{t}"}_{y}}={{\left(x\cdot {{e}^{y}}+y\cdot {{e}^{z}} \right)}^{\prime }}_{y}={{\left(x\cdot {{e}^{y}} \right)}^{\prime }}_{y}+{{\left(y\cdot {{e}^{z}} \right)}^{\prime }}_{y}=\]
\[=x\cdot {{\left({{e}^{y}} \right)}^{\prime }}_{y}+{{e}^{z}}\cdot {{\left(y \right)}^{\prime }}_{y}=x\cdot {{e}^{y}}+{{e}^{z}}\]
ΠΡ Π½Π°ΡΠ»ΠΈ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ.
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΎΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΠΎ $z$:
\[{{{t}"}_{z}}={{\left(x\cdot {{e}^{y}}+{{y}^{z}} \right)}^{\prime }}_{z}={{\left(x\cdot {{e}^{y}} \right)}^{\prime }}_{z}+{{\left(y\cdot {{e}^{z}} \right)}^{\prime }}_{z}=0+y\cdot {{\left({{e}^{z}} \right)}^{\prime }}_{z}=y\cdot {{e}^{z}}\]
ΠΡ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°Π»ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ, Π½Π° ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ Π·Π°Π²Π΅ΡΡΠ΅Π½ΠΎ.
ΠΡΠ°Π½ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ
ΠΠ°ΠΊ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡΠ΅, Π½ΠΈΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π² ΡΡΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Ρ Π½Π΅Ρ. ΠΠ΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅, Π² ΡΠ΅ΠΌ ΠΌΡ ΡΠ±Π΅Π΄ΠΈΠ»ΠΈΡΡ, ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΎ ΠΈ Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΌΡ ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ°Π·Π½ΡΠ΅ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡ.
Π ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅ΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ Π½Π°ΠΌ Π±ΡΠ»ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΎ ΡΠ°Π·ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΡΡΡ Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΡΡΠ°Π·Ρ ΠΎΡ ΡΡΠ΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ . ΠΠΈΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π² ΡΡΠΎΠΌ Π½Π΅Ρ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π² ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ ΠΌΡ ΡΠ±Π΅Π΄ΠΈΠ»ΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ Π²ΡΠ΅ ΠΎΠ½ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ ΠΎΡ Π΄ΡΡΠ³Π° ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ.
ΠΠ»ΡΡΠ΅Π²ΡΠ΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡ
ΠΠΊΠΎΠ½ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· ΡΠ΅Π³ΠΎΠ΄Π½ΡΡΠ½Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎΡΡΠΎΠΊΠ° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅:
- Π§Π°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΡΠ΅, ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Π²ΡΠ΅ ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠ΅, Π²Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠ΅ Π² Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌ Π·Π° ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΡ.
- ΠΡΠΈ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ ΠΌΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΠ΅ ΡΠ΅ ΠΆΠ΅ ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, ΡΡΠΎ ΠΈ Ρ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ: ΡΡΠΌΠΌΡ, ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ, ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ, ΡΠ°Π·ΡΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ, ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ, ΠΏΡΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠ° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎΡΡΠΎΠΊΠ° Π½Π΅Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ ΡΠ°Π·ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΡΡΡ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΌΠ΅, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎ ΡΠ΅ΠΉΡΠ°Ρ Π½Π° ΠΌΠΎΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΠΉΡΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΊ ΡΡΠΎΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ, ΠΏΠΎΡΠ²ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ΅Π³ΠΎΠ΄Π½ΡΡΠ½Π΅ΠΉ ΡΠ΅ΠΌΠ΅ β Π·Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅, ΡΠΊΠ°ΡΠΈΠ²Π°ΠΉΡΠ΅, ΡΠ΅ΡΠ°ΠΉΡΠ΅ ΡΡΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΈ ΡΠ²Π΅ΡΡΠΉΡΠ΅ΡΡ Ρ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠΎΠΌ. Π ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ Π½ΠΈ Π½Π° ΡΠΊΠ·Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ , Π½ΠΈ Π½Π° ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Ρ Ρ Π²Π°Ρ Π½Π΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ. ΠΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΎ Π½Π΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠΎΠΊ ΠΏΠΎ Π²ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π·Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π½Π° Π½Π°Ρ ΡΠ°ΠΉΡ, Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»ΡΠΉΡΠ΅ΡΡ ΠΠΠΎΠ½ΡΠ°ΠΊΡΠ΅, ΠΏΠΎΠ΄ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΠΉΡΠ΅ΡΡ Π½Π° YouTube, ΡΡΠ°Π²ΡΡΠ΅ Π»Π°ΠΉΠΊΠΈ ΠΈ ΠΎΡΡΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ΡΡ Ρ Π½Π°ΠΌΠΈ!
ΠΠ°ΠΆΠ΄Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ (ΠΏΠΎ x ΠΈ ΠΏΠΎ y ) ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΎΠ±ΡΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΈ ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ:
(Π³Π΄Π΅ y = const),
(Π³Π΄Π΅ x = const).
ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌ ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ , ΡΡΠΈΡΠ°Ρ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π΄ΡΡΠ³ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠΉ (ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠΎΠΉ).
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΠ°ΠΌ Π½Π΅ Π½ΡΠΆΠ΅Π½ ΡΠ°Π·Π±ΠΎΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ, Π° Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π»ΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠ°ΡΠ΅ΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ, ΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΊ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ .
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΆΠ΅Π»ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ΅Π΄ΠΎΡΠΎΡΠΈΡΡΡΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΡΡΠ»Π΅ΠΆΠΈΠ²Π°ΡΡ, Π³Π΄Π΅ Π² ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠ°, ΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π² ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ²ΠΎΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ° Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ - ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π±ΡΡΡΡΠ΅Π΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±ΡΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. ΠΠ°Π΄ΠΎ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π½Π΅ Π·Π°Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΡΠΈΡΡΠΎΠ²ΠΎΠΌ ΠΎΡΠΎΡΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΡΠ½ΡΡΡ Π½Π° ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΡ (ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ Ρ ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ).
ΠΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΈΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠΏΠ°ΡΡΡΡΡ Π² ΡΠΊΠ·Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠ°Ρ . ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΠΊΡΡΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΡΠΏΡΠ°Π²ΠΊΡ.
ΠΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ z = f (x , y ) Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ ΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ z = f (x , y ) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΠΉ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π΅ΡΠ»ΠΈ
Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡΡ (2) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠΌ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ z (ΠΎΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ²).
ΠΡΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ z = f (x , y ) ΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠ°
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ z ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΏΡΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ², Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, x , ΠΏΡΠΈ ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ³ΠΎ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° y , ΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x , y ) ΠΏΠΎ x .
Π Π°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ z Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ², ΠΌΡ ΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»
ΡΠΎ ΠΎΠ½ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x , y ) ΠΏΠΎ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡ x ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠ²
(4)
ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ z ΠΏΠΎ y :
ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ f (x , y ) ΠΏΠΎ y :
(6)
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ "ΠΈΠΊΡ":
(y ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ);
ΠΠ°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ "ΠΈΠ³ΡΠ΅ΠΊ":
(x ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ).
ΠΠ°ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π°: Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΡΠ²Π»ΡΡΡΠ΅Π΅ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ (ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ) ΠΏΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½Π°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π½Π΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ, ΡΠΎ ΡΡΠ° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ΠΎΠΊΠ°Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠ°, Π±Π΅Π·ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΠΎ, Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² Π½ΡΠ»Ρ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2. ΠΠ°Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅
(ΠΏΠΎ ΠΈΠΊΡΡ) ΠΈ (ΠΏΠΎ ΠΈΠ³ΡΠ΅ΠΊΡ) ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π (1; 2).
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡΠΈ ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΌ y ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ (ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ):
.
ΠΡΠΈ ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΌ x ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π° Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ β ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠΉ:
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π (1; 2):
ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π° ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΡΠ°Π³ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ
(y x , ΠΊΠ°ΠΊ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π±Ρ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° Π±ΡΠ»ΠΎ 5x : ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ 5 ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ);
(x ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΈ y ).
ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π° ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ .
ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΡΡΡ ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ .
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡ Π½Π°Π±ΠΎΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ (x ; y ; ...; t ) Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΈΠ· ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° D ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ u ΠΈΠ· ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° E , ΡΠΎ u Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ x , y , ..., t ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ u = f (x , y , ..., t ).
ΠΠ»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΡΡΡ ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠΏΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ.
Π§Π°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ , Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Ρ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 4. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. y ΠΈ z ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Ρ:
x ΠΈ z ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Ρ:
x ΠΈ y ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Ρ:
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 5.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 6. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ .
Π§Π°ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΎΡ ΠΆΠ΅ ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ», ΡΡΠΎ ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ , - ΡΡΠΎ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ².
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 8. ΠΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΠΏΠΎΡΠΎΠΊΠ° Π ΠΏΠ°ΡΡΠ°ΠΆΠΈΡΠΎΠ² ΠΆΠ΅Π»Π΅Π·Π½ΡΡ Π΄ΠΎΡΠΎΠ³ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ
Π³Π΄Π΅ Π β ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΠ°ΡΡΠ°ΠΆΠΈΡΠΎΠ², N β ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΠΊΠΎΡΡΠ΅ΡΠΏΠΎΠ½Π΄ΠΈΡΡΡΡΠΈΡ ΠΏΡΠ½ΠΊΡΠΎΠ², R β ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΏΡΠ½ΠΊΡΠ°ΠΌΠΈ.
Π§Π°ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π ΠΏΠΎ R , ΡΠ°Π²Π½Π°Ρ
ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΎΠΊΠ° ΠΏΠ°ΡΡΠ°ΠΆΠΈΡΠΎΠ² ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΊΠΎΡΡΠ΅ΡΠΏΠΎΠ½Π΄ΠΈΡΡΡΡΠΈΠΌΠΈ ΠΏΡΠ½ΠΊΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΡΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΡΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ Π² ΠΏΡΠ½ΠΊΡΠ°Ρ .
Π§Π°ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π ΠΏΠΎ N , ΡΠ°Π²Π½Π°Ρ
ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΎΠΊΠ° ΠΏΠ°ΡΡΠ°ΠΆΠΈΡΠΎΠ² ΠΏΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌΡ ΡΠΈΡΠ»Ρ ΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ Π½Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π½ΡΡ ΠΏΡΠ½ΠΊΡΠΎΠ² ΠΏΡΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΈ ΡΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΏΡΠ½ΠΊΡΠ°ΠΌΠΈ.
ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π° ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ .
ΠΠΎΠ»Π½ΡΠΉ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅ΠΉ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ. Π§Π°ΡΡΠ½ΡΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΊ:
Π‘ΡΠΌΠΌΠ° ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌ Π΄Π°ΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠΉ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π». ΠΠ»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π΄Π²ΡΡ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠΉ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎΠΌ
(7)
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 9. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠΉ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (7):
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠ°Ρ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠΉ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ.
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠΉ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, ΠΈΠ· Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π΅Ρ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΡΡΡ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ, Π½ΠΎ Π½Π΅ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡΠΎΡ.
Π‘ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π±Π΅Π· Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ² Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ°. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ z = f (x , y ) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅
Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ, ΡΠΎ ΠΎΠ½Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° Π² ΡΡΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΈ Π΅Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ (7).
ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΡΠΎΠΌΡ, ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ , ΡΠ°ΠΊ ΠΈ Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠΉ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ, Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΠ»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄
(8)
Π³Π΄Π΅ Ξ± ΠΈ Ξ² β Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈ ΠΈ .
Π§Π°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π²ΡΡΡΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ²
Π§Π°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x , y ) ΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ ΡΠ΅Ρ ΠΆΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΈ, Π² ΡΠ²ΠΎΡ ΠΎΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Ρ, ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΠΎ ΡΠ°Π·Π½ΡΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ Π²ΡΡΡΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ².
ΠΠ° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΡΠΎΠΊΠ΅ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΠΌΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ , Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ β Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΠ»Ρ ΡΡΡΠ΅ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½ΠΈΠΆΠ΅ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»Π° ΠΠ°ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠΌΠ΅ΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ ΡΠ²Π΅ΡΠ΅Π½Π½ΠΎ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ Β«ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΡΠ΅Β» ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. ΠΠ°ΡΡΠΈΡΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ°ΡΡΡΡ Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π° ΡΡΠΎΠΊΠ°Ρ ΠΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ? ΠΈ ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ . Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ» Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½Π° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ΄ ΡΡΠΊΠΎΠΉ Π² ΡΠ°ΡΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅.
ΠΠ°ΡΠ½Π΅ΠΌ Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ , ΠΏΠΎΡΡΠ°ΡΠ°Π΅ΠΌΡΡ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΈΡΡΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠΎΠΌ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°ΠΉΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ. Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ , ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ , Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΠΌΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: - ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ .
ΠΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ . Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΡ, Π³Π΄Π΅ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ Π±ΡΠΊΠ²Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π±ΡΠΊΠ²Π° .
ΠΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ Π·Π½Π°ΡΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Π°Ρ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, β Π²ΡΠ΅ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠ°Ρ ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»Π°. ΠΡΠ±Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ Ρ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π·ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΡ Π² ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ (ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΡΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄ΡΡ, ΡΠ°ΡΡ, ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»ΠΎΠΈΠ΄Ρ ΠΈ Ρ.Π΄.). ΠΠΎ, ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΠΆΠ΅ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ, Π° Ρ Π½Π°Ρ Π½Π° ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡΠΊΠ΅ Π΄Π½Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·.
ΠΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ². ΠΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΡΠΎΠΎΠ±ΡΠΈΡΡ Ρ ΠΎΡΠΎΡΡΡ Π½ΠΎΠ²ΠΎΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅Ρ , ΠΊΡΠΎ Π²ΡΠΏΠΈΠ» Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ°ΡΠ΅ΠΊ ΠΊΠΎΡΠ΅ ΠΈ Π½Π°ΡΡΡΠΎΠΈΠ»ΡΡ Π½Π° Π½Π΅Π²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΠΌΠΎ ΡΡΡΠ΄Π½ΡΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»: ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ β ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠΈ ΡΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΈ Β«ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΡΠ΅Β» ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.
ΠΠ»Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Ρ Π²ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ° Π½Π΅Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΡ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠΈΠΉ, Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌΠΈ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΠΌΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎ ΡΠ΅ΠΉΡΠ°Ρ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
Π‘Π½Π°ΡΠ°Π»Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°. ΠΡ Π΄Π²Π΅.
ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ:
ΠΠ»ΠΈ β ΡΠ°ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎ Β«ΠΈΠΊΡΒ»
ΠΠ»ΠΈ β ΡΠ°ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎ Β«ΠΈΠ³ΡΠ΅ΠΊΒ»
ΠΠ°ΡΠ½Π΅ΠΌ Ρ .
ΠΠ°ΠΆΠ½ΠΎ! ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΠΎ Β«ΠΈΠΊΡΒ», ΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°ΡΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠΎΠΉ (ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ).
Π Π΅ΡΠ°Π΅ΠΌ. ΠΠ° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΡΠΎΠΊΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡΠ°Π·Ρ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π° ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π΄Π°Π²Π°ΡΡ Π½ΠΈΠΆΠ΅.
ΠΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΊ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Π½ΡΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠΌ:
(1) ΠΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΌΡ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ β Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π² ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ ΡΡΡΠΈΡ Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡΠΎΠΌ .
ΠΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ! ΠΠΎΠ΄ΡΡΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡΡ ΠΠ Π’ΠΠ Π―ΠΠ ΠΏΠΎ Ρ ΠΎΠ΄Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. Π Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΡ Π³Π΄Π΅-Π½ΠΈΠ±ΡΠ΄Ρ Π½Π°ΡΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅ Β«ΡΡΡΠΈΡ Β» Π±Π΅Π· , ΡΠΎ ΠΏΡΠ΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°ΡΠ΅Π»Ρ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΡΡΠ΄ΠΎΠΌ Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (ΡΡΠ°Π·Ρ ΠΎΡΠΊΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ Π±Π°Π»Π»Π° Π·Π° Π½Π΅Π²Π½ΠΈΠΌΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ).
(2) ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ; . ΠΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΎΡ, ΠΎΠ±Π° ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΡΠ°Π³Π΅. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅: ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠΎΠΉ, Π° Π»ΡΠ±ΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠ½Π΅ΡΡΠΈ Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ , ΡΠΎ ΠΌΡ Π²ΡΠ½ΠΎΡΠΈΠΌ Π·Π° ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ. Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π½ΠΈΡΠ΅ΠΌ Π½Π΅ Π»ΡΡΡΠ΅ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°. Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π½Π° ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ : Π·Π΄Π΅ΡΡ, Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡΠΎΡ, Π²ΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΡ Π½Π΅ΡΠ΅Π³ΠΎ. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠ°, ΡΠΎ β ΡΠΎΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠ°, ΠΈ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΡΠΌΡΡΠ»Π΅ ΠΎΠ½Π° Π½ΠΈΡΠ΅ΠΌ Π½Π΅ Π»ΡΡΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π³ΠΎ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ β Β«ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠΊΠΈΒ».
(2) ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΡΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ Π² ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ Π²ΡΠ΅ Β«ΠΈΠΊΡΡΒ» Π½Π° Β«ΠΈΠ³ΡΠ΅ΠΊΠΈΒ». Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ Π΄Π°Π½Π½Π°Ρ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ° ΡΠΠ²Π½ΠΎ ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Π° Π΄Π»Ρ(ΠΈ Π²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ΅ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ Π±ΡΠΊΠ²Ρ). Π Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΠ΅ Π½Π°ΠΌΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΠΈΠ΄: ΠΈ .
ΠΡΠ°ΠΊ, ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Ρ
Π Π΅ΡΠ°ΡΡ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±Π΅Π· Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π°Ρ Π΅Π΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ - ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Π²Π°ΠΆΠ½Π΅ΠΉΡΠΈΡ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°. ΠΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΌΡ ΠΈ ΡΠ΅ΡΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΡΠ²ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ΅Π³ΠΎΠ΄Π½ΡΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°ΡΡΡ. Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ² Π΅Π΅ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΈ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ», ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ? ΠΡΠ΅ ΡΡΠΈ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ Π² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½: ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ?
ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΈ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ
ΠΡΡΡΡ Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f(x) , Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Π°Ρ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅ (a, b) . Π’ΠΎΡΠΊΠΈ Ρ ΠΈ Ρ 0 ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ ΡΡΠΎΠΌΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Ρ. ΠΡΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈ ΡΠ°ΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ. ΠΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° β ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ Π΅Π³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Ρ -Ρ 0 . ΠΡΠ° ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π΅Π»ΡΡΠ° ΠΈΠΊΡ ΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°. ΠΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² Π΄Π²ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ . ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ β ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΊ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ ΠΊ Π½ΡΠ»Ρ.
ΠΠ½Π°ΡΠ΅ ΡΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠ°ΠΊ:
ΠΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» Π² Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°? Π Π²ΠΎΡ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ:
ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΎΡΡΡ OX ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅.
Π€ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ: ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΡΡΠΈ ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π΅ΡΠ΅ ΡΠΎ ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ Π²ΡΠ΅ΠΌ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ β ΡΡΠΎ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΡΠΈ x=f(t) ΠΈ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ t . Π‘ΡΠ΅Π΄Π½ΡΡ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π·Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΎΠΊ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ:
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ·Π½Π°ΡΡ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ t0 Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»:
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅: Π²ΡΠ½ΠΎΡΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΡ
ΠΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠ½Π΅ΡΡΠΈ Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. ΠΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ - ΡΡΠΎ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°ΡΡ. ΠΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΡΠΌΠΈΡΠ΅ Π·Π° ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ - Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΡΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΠ±ΡΠ·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠΏΡΠΎΡΠ°ΠΉΡΠ΅ .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ:
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ΅: ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. Π’ΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ΅ ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎ ΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ.
ΠΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ, Π° Π»ΡΡΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ.
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ:
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅: ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅:
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ:
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
ΠΠ΄Π΅ΡΡ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΌΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΠΏΠΎ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.
Π Π²ΡΡΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΠΌΡ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°Π΅ΠΌ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
Π Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΎΡΠ½ΡΠΉ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ β 8Ρ Π² ΠΏΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ. ΠΠ»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π²Π½Π΅ΡΠ½Π΅ΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΌΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡ, Π° ΠΏΠΎΡΠΎΠΌ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π½Π΅ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΠΏΠΎ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΎΠ΅: ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ:
ΠΡ ΠΏΠΎΡΡΠ°ΡΠ°Π»ΠΈΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ Π½ΡΠ»Ρ. ΠΡΠ° ΡΠ΅ΠΌΠ° Π½Π΅ ΡΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΎΡΡΠ°, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΡΡΡ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠΏΡΠ΅ΠΆΠ΄Π°Π΅ΠΌ: Π² ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΠΎ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ Π»ΠΎΠ²ΡΡΠΊΠΈ, ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ Π±ΡΠ΄ΡΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Ρ ΠΏΡΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ .
Π‘ Π»ΡΠ±ΡΠΌ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΏΠΎ ΡΡΠΎΠΉ ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌ ΡΠ΅ΠΌΠ°ΠΌ Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΡΡΡ Π² ΡΡΡΠ΄Π΅Π½ΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ΅ΡΠ²ΠΈΡ . ΠΠ° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΊΠΈΠΉ ΡΡΠΎΠΊ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΡΠ°ΠΌΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ ΠΈ ΡΠ°Π·ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΡΡΡ Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΡΠΌΠΈ, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Ρ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠ°Π½ΡΡΠ΅ Π½Π΅ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π»ΠΈΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ .
ΠΡΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ . ΠΠ°Π΄ΠΈΠΌ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π° Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ:
ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ, ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΡΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ΄Π°Π²Π°Ρ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅-Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ:
ΠΠ΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠΌ ΠΏΡΠΈΡΠ°-ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 4. Π§Π°ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΊ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ ΠΊ Π½ΡΠ»Ρ (Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΎΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ). ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°ΠΊ: ΠΈΠ»ΠΈ, ΠΈΠ»ΠΈ.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:
Π§Π°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ ΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΡΡΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠΉ, Π° ΠΏΡΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ:
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π°) Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ:
ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΈΡΠ°Ρ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ, Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ:
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 5. ΠΠΎΠ»Π½ΡΠΌ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΡΠΌΠΌΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π° ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ , Ρ.Π΅.
Π£ΡΠΈΡΡΠ²Π°Ρ, ΡΡΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»Ρ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ Ρ ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ, Ρ.Π΅. , ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 4. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠΉ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ, ΡΠΎ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»Π° Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ
Π§Π°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π²ΡΡΡΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ²
Π§Π°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΌΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 6. Π§Π°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΎΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°.
Π§Π°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅. ΠΠ½ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ 3-Π³ΠΎ, 4-Π³ΠΎ ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²ΡΡΠΎΠΊΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ². ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΄Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:
Π§Π°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²ΡΡΠΎΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, Π²Π·ΡΡΡΠ΅ ΠΏΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ. ΠΠ»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ²ΡΠΌΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅. ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½Ρ, ΡΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 5. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π§Π°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Π΄Π»Ρ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Ρ Π² ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ 3:
ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΡ ΠΈ ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌ Ρ ΠΈ y, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ